微分積分例

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

ステップ 1

$u = 1 - 4 x^{2}$ とします。次に $d u = - 8 x d x$ すると、 $\frac{1}{- 8 x} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - 4 x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - 4 x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 4 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$0 - 8 x$

ステップ 1.1.4

$0$ から $8 x$ を引きます。

$- 8 x$

ステップ 1.2

$u = 1 - 4 x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

ステップ 1.3.1.2

$- 4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 - 4 x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

ステップ 1.5.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

ステップ 1.5.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

ステップ 1.5.1.4.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.1.4.3

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.1.4.4

式を書き換えます。

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

ステップ 1.5.1.5

$- 1 (\frac{1}{4})$ を $- (\frac{1}{4})$ に書き換えます。

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

ステップ 1.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.5.3

公分母の分子をまとめます。

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

ステップ 1.5.4

$4$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{3}{4}$ および $1$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

ステップ 6.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

10進法形式：

$0.26794919 \dots$

微分積分 例

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