微分積分例

$\int x \sqrt{1 - x} d x$

ステップ 1

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 1.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - (- u + 1) \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int (- u + 1) \sqrt{u} d u$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

$(- u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.2

負をくくり出します。

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.3

$u$ を $1$ 乗します。

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.8

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.9

$- u^{\frac{3}{2}}$ と $u^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$- \int u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$- (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

ステップ 9

簡約します。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- (\frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$\frac{2}{3}$ と ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11.1.2

${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

ステップ 11.1.3

$2$ を ${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ の左に移動させます。

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 11.2

$\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

ステップ 11.3

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 11.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.4.1

$\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 11.4.2

$3$ に $5$ をかけます。

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

ステップ 11.4.3

$\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

ステップ 11.4.4

$5$ に $3$ をかけます。

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

ステップ 11.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

ステップ 11.6

分子を簡約します。

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ステップ 11.6.1

$5$ に $2$ をかけます。

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

ステップ 11.6.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{15} (10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微分積分 例

微分積分例