微分積分例

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 4} d x$

ステップ 1

$u = x^{3} + 4$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{3} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

ステップ 2.2

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{3 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 5

簡約します。

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 4 |) + C$

微分積分 例