微分積分例

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

ステップ 1

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- d u = \sin (x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \int u^{- 3} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$u^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

ステップ 6.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

ステップ 6.2

簡約します。

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

ステップ 6.3.2

$\frac{1}{2 u^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 \cos^{2} (x)} + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$1$ を掛けます。

$\frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)} + C$

ステップ 8.2

分数を分解します。

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + C$

ステップ 8.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x) + C$

ステップ 8.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

ステップ 8.5

$\frac{1}{2}$ と $\sec^{2} (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

ステップ 8.6

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

微分積分 例

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