微分積分例

$\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1^{2} + 1$

ステップ 1.3

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ステップ 1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 1 + 1$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3^{2} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 9 + 1$

ステップ 1.5.2

$9$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 10$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int_{2}^{10} \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{2}^{10}$

ステップ 5

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ステップ 5.1

$10$ および $2$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\ln (| 10 |)) - \ln (| 2 |))$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})}{2}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $10$ の間の距離は $10$ です。

$\frac{\ln (\frac{10}{| 2 |})}{2}$

ステップ 5.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{\ln (\frac{10}{2})}{2}$

ステップ 5.3.3

$10$ を $2$ で割ります。

$\frac{\ln (5)}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (5)}{2}$

10進法形式：

$0.80471895 \dots$

微分積分 例

微分積分例