微分積分例

$\int \frac{x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + x^{4}$ とします。次に $d u = 4 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + x^{4}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + x^{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $1 + x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 4 x^{3}$

ステップ 1.1.5

$0$ と $4 x^{3}$ をたし算します。

$4 x^{3}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

ステップ 2.2

$4$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{4 u^{2}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int u^{- 2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$\frac{1}{4} (- u^{- 1} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{4} (- u^{- 1} + C)$ を $\frac{1}{4} (- \frac{1}{u}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{u}) + C$

ステップ 6.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{u}$ をかけます。

$- \frac{1}{4 u} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $1 + x^{4}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4 (1 + x^{4})} + C$

微分積分 例

微分積分例