微分積分例

$\int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x$

ステップ 1

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\int u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.7

$u^{- \frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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