微分積分例

$\int (6 x^{2} + x) \csc^{2} (4 x^{3} + x^{2}) d x$

ステップ 1

$u = 4 x^{3} + x^{2}$ とします。次に $d u = (12 x^{2} + 2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = (6 x^{2} + x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 x^{3} + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 x^{3} + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} + x^{2}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 x^{3} + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} + 2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\csc^{2} (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \csc^{2} (u) d u$

ステップ 4

$- \cot (u)$ の微分係数が $\csc^{2} (u)$ なので、 $\csc^{2} (u)$ の積分は $- \cot (u)$ です。

$\frac{1}{2} (- \cot (u) + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

$\frac{1}{2} (- \cot (u)) + C$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $\cot (u)$ をまとめます。

$- \frac{\cot (u)}{2} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $4 x^{3} + x^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{\cot (4 x^{3} + x^{2})}{2} + C$

ステップ 7

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} \cot (4 x^{3} + x^{2}) + C$

微分積分 例

微分積分例