微分積分例

$\int_{1}^{5} \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

ステップ 1

$u = 2 x - 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u = 2 x - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 2 - 1$

ステップ 1.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 2 x - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 5 - 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $5$ をかけます。

$u_{upper} = 10 - 1$

ステップ 1.5.2

$10$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.2

まとめる。

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.4.2

式を書き換えます。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.5.2

式を書き換えます。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.6

$\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 2.7

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

$(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.7

$u^{- \frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

ステップ 9

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$ と $2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

ステップ 10

$9$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 11.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 11.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 11.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 11.4

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{2}{3}$ と $27$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 12.2

$2$ に $27$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 12.3

$54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.1

$3$ を $54$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 12.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 12.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 12.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 12.3.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 13.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 13.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 13.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{1} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 13.4

指数を求めます。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 14

式を簡約します。

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ステップ 14.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{4} (18 + 6 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 14.2

$18$ と $6$ をたし算します。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 14.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 14.4

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 14.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1))$

ステップ 14.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2))$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}))$

ステップ 15.2

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}))$

ステップ 15.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 2 \cdot 3}{3})$

ステップ 15.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 6}{3})$

ステップ 15.4.2

$2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{1}{4} (24 - \frac{8}{3})$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$24$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} (24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

ステップ 16.2

$24$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

ステップ 16.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{24 \cdot 3 - 8}{3}$

ステップ 16.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

$24$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{72 - 8}{3}$

ステップ 16.4.2

$72$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3}$

ステップ 17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{64}{3}$ をかけます。

$\frac{64}{4 \cdot 3}$

ステップ 17.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{64}{12}$

ステップ 17.3

$64$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{4 (16)}{12}$

ステップ 17.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

ステップ 17.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

ステップ 17.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{16}{3}$

ステップ 18

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{16}{3}$

10進法形式：

$5.\overline{3}$

帯分数形：

$5 \frac{1}{3}$

微分積分 例

微分積分例