微分積分例

$\int x \sqrt{2 x + 1} d x$

ステップ 1

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{u}$ をまとめます。

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.2

$\frac{u}{2}$ に $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.3

$u$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.8

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.9

$- \frac{1}{2}$ と $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

ステップ 3.10

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ を $\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.3.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.3.3

$2$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.3.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{10} {(2 x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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