微分積分例

$4 \int \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{1 + x}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(1 + x) (1 - x)$ です。

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.5

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.6

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) (1 - x)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.7.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.7.5

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 1.1.7.5.2

$(B) (1 + x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

ステップ 1.1.7.6

分配則を当てはめます。

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

ステップ 1.1.7.7

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A - A x + B + B x$

ステップ 1.1.8

式を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

$A$ を移動させます。

$1 = A - x A + B + B x$

ステップ 1.1.8.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$1 = A - x A + B + B x$

ステップ 1.1.8.3

$B$ を移動させます。

$1 = A - x A + B x + B$

ステップ 1.1.8.4

$A$ を移動させます。

$1 = - x A + B x + A + B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 1 A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$0 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$- 1 (1 - B) + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3

$- 1 (- B)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.1.3.2

$B$ に $1$ をかけます。

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$B$ と $B$ をたし算します。

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3

$0 = - 1 + 2 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $- 1 + 2 B = 0$ として書き換えます。

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1

$1 - (\frac{1}{2})$ を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.4.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.4.2.1.3

$2$ から $1$ を引きます。

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

ステップ 1.4

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{1 + x}$ をかけます。

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

ステップ 1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

ステップ 1.5.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{1 - x}$ をかけます。

$4 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 4

$u_{1} = 1 + x$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = 1 + x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

ステップ 7

$u_{2} = 1 - x$ とします。次に $d u_{2} = - d x$ すると、 $- d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = 1 - x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 9

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C)))$

ステップ 11

簡約します。

$4 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

ステップ 12

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 12.1

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

ステップ 12.2

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

ステップ 13.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$4 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

ステップ 13.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

ステップ 13.3.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

ステップ 13.3.3

式を書き換えます。

$2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

微分積分 例

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