微分積分例

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 2 x^{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$3$ を $2 x^{2} - 5$ の左に移動させます。

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $2 x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.7

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.3.8.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.8.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{3} x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 (x^{1} x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{1 + 3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.6

$1$ と $3$ をたし算します。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.7

$4$ と $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8

簡約します。

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ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.8.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.8.4.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2}))) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.4.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 (3 (2 x^{4})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.4.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 (6 x^{4}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.4.1.3

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{24 x^{4} + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.4.1.4

$3$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{24 x^{4} + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.4.1.5

$- 15$ に $4$ をかけます。

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.4.1.6

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} - 16 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.4.2

$24 x^{4}$ から $16 x^{4}$ を引きます。

$\frac{8 x^{4} - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.5

$4 x^{2}$ を $8 x^{4} - 60 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.8.5.1

$4 x^{2}$ を $8 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.5.2

$4 x^{2}$ を $- 60 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8.5.3

$4 x^{2}$ を $4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

微分積分 例

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