微分積分例

$y = \sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$ を ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 2 x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.6

分数をまとめます。

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ステップ 4.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.6.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

ステップ 4.7

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.11

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.12

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + 0)$

ステップ 4.13

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

ステップ 4.14

簡約します。

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ステップ 4.14.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.14.2

$2 x + 2$ に $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.14.3

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.14.4

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.14.5

$2$ を $2 (x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.14.6

共通因数を約分します。

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ステップ 4.14.6.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.14.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.14.6.3

式を書き換えます。

$\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例