微分積分例

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

ステップ 1

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2 x} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = 1 + x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 1 + 1$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u = 1 + x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 1 + 4$

ステップ 1.5.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$u_{upper} = 5$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{5} u d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

ステップ 3

代入し簡約します。

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ステップ 3.1

$5$ および $2$ で $\frac{1}{2} u^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $25$ をまとめます。

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

ステップ 3.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

ステップ 3.2.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.2.5

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.2.6

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.6.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

ステップ 3.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

ステップ 3.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

ステップ 3.2.6.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{25}{2} - 2$

ステップ 3.2.7

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.2.8

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.10

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.10.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{25 - 4}{2}$

ステップ 3.2.10.2

$25$ から $4$ を引きます。

$\frac{21}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{21}{2}$

10進法形式：

$10.5$

帯分数形：

$10 \frac{1}{2}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例