微分積分例

$y = - 5 {(2 x + 3)}^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 5 {(2 x + 3)}^{3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 {(2 x + 3)}^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 2 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 3$ とします。

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 3$ で置き換えます。

$- 5 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$3$ に $- 5$ をかけます。

$- 15 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3.6

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

ステップ 3.3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

ステップ 3.3.7.2

$2$ に $- 15$ をかけます。

$- 30 {(2 x + 3)}^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$

微分積分 例

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