微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.3

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.5.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.2.5.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

ステップ 1.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

ステップ 1.3.3

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

ステップ 1.3.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

ステップ 1.3.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.3.6

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 1.3.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 1.3.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 \cdot 0^{3}}$

ステップ 1.3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{3 \tan (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

ステップ 1.3.8.1.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

ステップ 1.3.8.1.3

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

ステップ 1.3.8.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

ステップ 1.3.8.1.5

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.3.8.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.8.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{- x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.5

$- e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $3 \tan (2 x) - 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \tan (2 x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7.2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7.5

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7.6

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (2 \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.7.7

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 3.8.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 (3 x^{2})}$

ステップ 3.8.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 6 x^{2}}$

ステップ 3.9

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 5

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 6

指数に極限を移動させます。

$\frac{- e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 7

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 8

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 9

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 10

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 11

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

ステップ 12

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}$

ステップ 13

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 14

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 15

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- e^{0}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 15.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 15.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 16

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 16.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 16.2.2

$- 6$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

ステップ 16.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (0)}$

ステップ 16.2.4

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1^{2}}$

ステップ 16.2.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1}$

ステップ 16.2.6

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6}$

ステップ 16.2.7

$0$ と $6$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot 1}{6}$

ステップ 16.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{6}$

ステップ 16.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6}$

微分積分 例

微分積分例