微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (2 x)}{x \sin (3 x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\tan^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

ステップ 1.1.2.1.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

ステップ 1.1.2.1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

ステップ 1.1.2.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

ステップ 1.1.3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

ステップ 1.1.3.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

ステップ 1.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

ステップ 1.1.3.5.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

ステップ 1.1.3.5.3

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (2 x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (2 x)$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (2 x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.3.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.7

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.8

$4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

ステップ 1.3.9

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.10.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.11

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.13

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.14

$3$ を $\cos (3 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) \cdot 1}$

ステップ 1.3.16

$\sin (3 x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)}$

ステップ 1.3.17

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$4 \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.5

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.8.1

$2$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.8.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \frac{1^{2} \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.8.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1 \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.8.4

$\tan (2 \cdot 0)$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{\tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.8.5

$2$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.2.8.6

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.3.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.3.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

ステップ 3.1.3.6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

ステップ 3.1.3.7

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.8

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.8.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.8.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.8.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.9.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.9.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.9.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.9.1.4

$0$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

ステップ 3.1.3.9.1.5

$3$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

ステップ 3.1.3.9.1.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 \frac{0}{0 + 0}$

ステップ 3.1.3.9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.9.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.10

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \sec^{2} (2 x)$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.3.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.4

指数を足して $\sec^{2} (2 x)$ に $\sec^{2} (2 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.8

$2$ を $\sec^{4} (2 x)$ の左に移動させます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.9

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (2 x)$ とします。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.9.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.9.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (2 x)$ で置き換えます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.10

$2$ を $\tan (2 x)$ の左に移動させます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.11

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.11.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.11.2

$u_{3}$ に関する $\sec (u_{3})$ の微分係数は $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.11.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.12

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.13

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.16

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.17

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.19

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.20

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.21

$2$ に $2$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.23

$4$ に $1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.24

項を並べ替えます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.25

総和則では、 $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26

$\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.26.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x \cos (3 x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.26.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.3.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.7

$3$ に $1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.26.9

$\cos (3 x)$ に $1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

ステップ 3.3.27

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.27.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.27.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.3.27.1.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.3.27.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.3.27.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.27.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

ステップ 3.3.27.4

$3$ に $1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

ステップ 3.3.27.5

$3$ を $\cos (3 x)$ の左に移動させます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

ステップ 3.3.28

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.28.1

分配則を当てはめます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

ステップ 3.3.28.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.28.2.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

ステップ 3.3.28.2.2

$3 \cos (3 x)$ と $3 \cos (3 x)$ をたし算します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$4 \frac{lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{4 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$4 \frac{4 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$4 \frac{4 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.6

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.7

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\tan^{2} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.9

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.10

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.11

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.12

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $\sec^{4} (2 x)$ から極限値外側に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{4}}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.13

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.14

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.15

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.16

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.17

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.18

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.19

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

ステップ 4.20

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

ステップ 4.21

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

ステップ 4.22

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{4 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \frac{4 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{4 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{4 \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.5

$2$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{4 \cdot \tan^{2} (0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.6

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 \frac{4 \cdot 0^{2} + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \frac{4 \cdot 0 + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.8

$4$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{0 + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.9

$2$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{0 + 2 \sec^{4} (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.10

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \frac{0 + 2 \cdot 1^{4}}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.11

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{0 + 2 \cdot 1}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.12

$2$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{0 + 2}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.1.13

$0$ と $2$ をたし算します。

$4 \frac{2}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- 9$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{2}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.2.2

$3$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{2}{0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 \frac{2}{0 \cdot 0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.2.4

$0$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{2}{0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

ステップ 6.2.5

$3$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{2}{0 + 6 \cos (0)}$

ステップ 6.2.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \frac{2}{0 + 6 \cdot 1}$

ステップ 6.2.7

$6$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{2}{0 + 6}$

ステップ 6.2.8

$0$ と $6$ をたし算します。

$4 (\frac{2}{6})$

ステップ 6.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$4 \frac{2 (1)}{6}$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$4 (\frac{1}{3})$

ステップ 6.4

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{4}{3}$

10進法形式：

$1.\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例