微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{x - 2}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ が $2$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.6

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.7

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.8

$x$ が $2$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.9

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.9.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 + 5} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.10.1.2

$4$ と $5$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.10.1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.10.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.10.1.5

$2$ と $7$ をたし算します。

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.10.1.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.10.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.10.1.8

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.2.10.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{2 - 2}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 5}$ を ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x + 5$ とします。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 5$ で置き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.6

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.12

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.13

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.14

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.15

$\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.16

$2$ を ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \cdot {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.18

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.3.19

式を書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 7}$ を ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 7$ とします。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 7$ で置き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.4

総和則では、 $x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [7]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.6

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.13

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.14

$\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.4.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 1.3.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{2 x + 5}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4.2

${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x + 7}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}}{1}$

ステップ 1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}}{1}$

ステップ 1.5.2

$- \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

ステップ 1.5.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sqrt{2 x + 5} \cdot 2 \sqrt{x + 7}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$ に $\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}}$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{\sqrt{2 x + 5} (2 \sqrt{x + 7})} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

ステップ 1.5.3.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

ステップ 1.5.3.3

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}$ に $\frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{\sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{x + 7} \sqrt{2 x + 5}}}{1}$

ステップ 1.5.3.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{\sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}}{1}$

ステップ 1.5.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}}{1}$

ステップ 1.6

$\frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.3

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.6

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.7

$x$ が $2$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.8

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.9

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.10

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.11

$x$ が $2$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.12

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} (2 x + 5) (x + 7)}}$

ステップ 2.13

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5 \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

ステップ 2.14

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

ステップ 2.15

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

ステップ 2.16

$x$ が $2$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

ステップ 2.17

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7)}}$

ステップ 2.18

$x$ が $2$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

ステップ 3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

ステップ 3.3

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

ステップ 3.4

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ と $7$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{4 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.1.6

$4$ と $5$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{9}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.1.7

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{3^{2}}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.1.9

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - 3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.1.10

$6$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{(4 + 5) (2 + 7)}}$

ステップ 4.2.2

$4$ と $5$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9 (2 + 7)}}$

ステップ 4.2.3

$2$ と $7$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9 \cdot 9}}$

ステップ 4.2.4

$9$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{81}}$

ステップ 4.2.5

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9^{2}}}$

ステップ 4.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{9}$

ステップ 4.3

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (1)}{9}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 4.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{6}$

10進法形式：

$0.1\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例