微分積分例

$x^{2} y - 5 y = 12$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 5 y) = \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} y - 5 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

ステップ 2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

ステップ 2.2.4

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 5 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 y$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$x^{2} y' + 2 y x - 5 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{2} y' + 2 y x - 5 y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y'$

ステップ 3

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$x^{2} y' - 5 y' = - 2 x y$

ステップ 5.2

$y'$ を $x^{2} y' - 5 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $x^{2} y'$ で因数分解します。

$y' x^{2} - 5 y' = - 2 x y$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- 5 y'$ で因数分解します。

$y' x^{2} + y' \cdot - 5 = - 2 x y$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' x^{2} + y' \cdot - 5$ で因数分解します。

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$

ステップ 5.3

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ の各項を $x^{2} - 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ の各項を $x^{2} - 5$ で割ります。

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x^{2} - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

微分積分 例

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