微分積分例

$\int \cos^{3} (x) d x$

ステップ 1

$\cos (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\int \cos (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2

$u = \cos (x)$ と $d v = \cos^{2} (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (- \sin (x)) d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{4}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) \sin (x) d x$

ステップ 4.4

$\frac{1}{4}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

ステップ 4.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + 1 \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

ステップ 4.5.2

$\int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

ステップ 4.5.3

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int \sin (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) d x$

ステップ 5

$u = \sin (x)$ と $d v = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

ステップ 6.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

ステップ 6.3

$\frac{1}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

ステップ 6.4

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) \cos (x) d x$

ステップ 7

$\int \cos^{3} (x) d x$ を解くと、 $\int \cos^{3} (x) d x$ = $\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

答えを簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$ を $\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

ステップ 8.1.2

簡約します。

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ステップ 8.1.2.1

$\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

ステップ 8.1.2.2

まとめる。

$\frac{4 (\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.2.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2) \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.6.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.7

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.8

$- 4$ と $\frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- 4 (\cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.9

$- 4$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.2.9.1

$4$ を $- 4 \cos (2 x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.2.9.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 (2)}}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 \cdot 2}}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- \cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

ステップ 8.1.2.11

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

ステップ 8.1.3

簡約します。

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ステップ 8.1.3.1

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

ステップ 8.1.3.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$ を $\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$

ステップ 8.3

括弧を削除します。

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \sin (x) \cos (2 x)) + C$

微分積分 例

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