微分積分例

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

ステップ 1

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.4.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 6 x - 16 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 6 x - 16 \cdot 1$

ステップ 2.1.1.4.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 6 x - 16$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

微分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

総和則では、 $x^{2} - 6 x - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.2.2.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 2.1.2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 6 + 0$

ステップ 2.1.2.3.2

$2 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x - 6$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 x - 6$ です。

$2 x - 6$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - 6 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$2 x = 6$

ステップ 2.2.3

$2 x = 6$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2 x = 6$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

ステップ 2.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

ステップ 2.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{6}{2}$

ステップ 2.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.3.1

$6$ を $2$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 2 (0) - 6$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 6$

ステップ 5.2.2

$0$ から $6$ を引きます。

$f'' (0) = - 6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 3)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 3)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(3, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = 2 (6) - 6$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (6) = 12 - 6$

ステップ 6.2.2

$12$ から $6$ を引きます。

$f'' (6) = 6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 6.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(3, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 3)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

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