微分積分例

$- x y + 2 x = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- x y + 2 x) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x y + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x y' + y) + 2 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$- (x y' + y) + 2$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$- x y' - y + 2$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- x y' - y + 2 = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$- x y' + 2 = y$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x y' = y - 2$

ステップ 5.2

$- x y' = y - 2$ の各項を $- x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- x y' = y - 2$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

ステップ 5.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 2}{- x}$

ステップ 5.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$

微分積分 例

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