微分積分例

$y = - x^{4} + 9 x^{2} - 20$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- x^{4} + 9 x^{2} - 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$- 4 x^{3} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 20$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 x^{3} + 18 x + 0$

ステップ 1.4.2

$- 4 x^{3} + 18 x$ と $0$ をたし算します。

$- 4 x^{3} + 18 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 4 x^{3} + 18 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [18 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$18$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 4 x^{3} + 18 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $- x^{4} + 9 x^{2} - 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$- 4 x^{3} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 20]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 20$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 x^{3} + 18 x + 0$

ステップ 4.1.4.2

$- 4 x^{3} + 18 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 18 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 x^{3} + 18 x$ です。

$- 4 x^{3} + 18 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x^{3} + 18 x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x^{3} + 18 x = 0$

ステップ 5.2

$- 2 x$ を $- 4 x^{3} + 18 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$- 2 x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x (2 x^{2}) + 18 x = 0$

ステップ 5.2.2

$- 2 x$ を $18 x$ で因数分解します。

$- 2 x (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 9 = 0$

ステップ 5.2.3

$- 2 x$ を $- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 9)$ で因数分解します。

$- 2 x (2 x^{2} - 9) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$2 x^{2} - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$2 x^{2} - 9$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $2 x^{2} - 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$2 x^{2} = 9$

ステップ 5.5.2.2

$2 x^{2} = 9$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$2 x^{2} = 9$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{9}{2}$

ステップ 5.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

ステップ 5.5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.1

$\sqrt{\frac{9}{2}}$ を $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.5.2.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.2.4.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.5.2.4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.5.2.4.3

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.5.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.5.2.4.4.1

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 5.5.2.4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 5.5.2.4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 5.5.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.5.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.5.2.4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.5.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 5.5.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.6

最終解は $- 2 x (2 x^{2} - 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(0)}^{2} + 18$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 12 \cdot 0 + 18$

ステップ 9.1.2

$- 12$ に $0$ をかけます。

$0 + 18$

ステップ 9.2

$0$ と $18$ をたし算します。

$18$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{2} - 20$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 0 + 9 {(0)}^{2} - 20$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 9 {(0)}^{2} - 20$

ステップ 11.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 9 \cdot 0 - 20$

ステップ 11.2.1.4

$9$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 20$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 20$

ステップ 11.2.2.2

$0$ から $20$ を引きます。

$f (0) = - 20$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 20$ です。

$y = - 20$

ステップ 12

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 18$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 12 \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + 18$

ステップ 13.1.1.2

積の法則を $3 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$- 12 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

ステップ 13.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$- 12 \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

ステップ 13.1.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 12 \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 18$

ステップ 13.1.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 18$

ステップ 13.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

ステップ 13.1.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

ステップ 13.1.2.2.4.2

式を書き換えます。

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 18$

ステップ 13.1.2.2.5

指数を求めます。

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + 18$

ステップ 13.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{4} + 18$

ステップ 13.1.4

$9$ に $2$ をかけます。

$- 12 (\frac{18}{4}) + 18$

ステップ 13.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.5.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$4 (- 3) \frac{18}{4} + 18$

ステップ 13.1.5.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 3 \frac{18}{4} + 18$

ステップ 13.1.5.3

式を書き換えます。

$- 3 \cdot 18 + 18$

ステップ 13.1.6

$- 3$ に $18$ をかけます。

$- 54 + 18$

ステップ 13.2

$- 54$ と $18$ をたし算します。

$- 36$

ステップ 14

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{{(3 \sqrt{2})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.1.2

積の法則を $3 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

$3$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2.2

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2.2.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.2.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2.2.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{2}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.4

$81$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{324}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.5

$324$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.5.1

$4$ を $324$ で因数分解します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 (81)}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.5.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 15.2.1.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.6.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 15.2.1.6.2

積の法則を $3 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 15.2.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.7.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 15.2.1.7.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 15.2.1.7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 15.2.1.7.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 15.2.1.7.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.7.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 15.2.1.7.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

ステップ 15.2.1.7.2.5

指数を求めます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

ステップ 15.2.1.8

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{4}) - 20$

ステップ 15.2.1.9

$9$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{18}{4}) - 20$

ステップ 15.2.1.10

$18$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.10.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 (9)}{4}) - 20$

ステップ 15.2.1.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.10.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

ステップ 15.2.1.10.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

ステップ 15.2.1.10.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2}) - 20$

ステップ 15.2.1.11

$9 (\frac{9}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.11.1

$9$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{2} - 20$

ステップ 15.2.1.11.2

$9$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} - 20$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$\frac{81}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2} - 20$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{81}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 20$

ステップ 15.2.2.3

$- 20$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1}$

ステップ 15.2.2.4

$\frac{- 20}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 15.2.2.5

$\frac{- 20}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

ステップ 15.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 - 20 \cdot 4}{4}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$81$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 20 \cdot 4}{4}$

ステップ 15.2.4.2

$- 20$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 80}{4}$

ステップ 15.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 81$ と $162$ をたし算します。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{81 - 80}{4}$

ステップ 15.2.5.2

$81$ から $80$ を引きます。

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$y = \frac{1}{4}$

ステップ 16

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 18$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1.1

積の法則を $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}) + 18$

ステップ 17.1.1.2

積の法則を $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + 18$

ステップ 17.1.1.3

積の法則を $3 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 18$

ステップ 17.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 12 (1 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 18$

ステップ 17.1.3

$\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- 12 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

ステップ 17.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.4.1

$3$ を $2$ 乗します。

$- 12 \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

ステップ 17.1.4.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 12 \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 18$

ステップ 17.1.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 18$

ステップ 17.1.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

ステップ 17.1.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

ステップ 17.1.4.2.4.2

式を書き換えます。

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 18$

ステップ 17.1.4.2.5

指数を求めます。

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + 18$

ステップ 17.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{4} + 18$

ステップ 17.1.6

$9$ に $2$ をかけます。

$- 12 (\frac{18}{4}) + 18$

ステップ 17.1.7

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.7.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$4 (- 3) \frac{18}{4} + 18$

ステップ 17.1.7.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 3 \frac{18}{4} + 18$

ステップ 17.1.7.3

式を書き換えます。

$- 3 \cdot 18 + 18$

ステップ 17.1.8

$- 3$ に $18$ をかけます。

$- 54 + 18$

ステップ 17.2

$- 54$ と $18$ をたし算します。

$- 36$

ステップ 18

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ は極大値です

ステップ 19

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.1.3

積の法則を $3 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.2.1

${(- 1)}^{4}$ を移動させます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.2.2

${(- 1)}^{4}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.2.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{5} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.3

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.1

$3$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4.2

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4.2.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.2.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4.2.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{2}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.6

$81$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{324}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.7

$324$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.7.1

$4$ を $324$ で因数分解します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 (81)}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.7.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.7.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

ステップ 19.2.1.8

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.8.1

積の法則を $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}) - 20$

ステップ 19.2.1.8.2

積の法則を $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}})) - 20$

ステップ 19.2.1.8.3

積の法則を $3 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})) - 20$

ステップ 19.2.1.9

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (1 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})) - 20$

ステップ 19.2.1.10

$\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 19.2.1.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.11.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 19.2.1.11.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.11.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 19.2.1.11.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 19.2.1.11.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 19.2.1.11.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.11.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

ステップ 19.2.1.11.2.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

ステップ 19.2.1.11.2.5

指数を求めます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

ステップ 19.2.1.12

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{4}) - 20$

ステップ 19.2.1.13

$9$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{18}{4}) - 20$

ステップ 19.2.1.14

$18$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.14.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 (9)}{4}) - 20$

ステップ 19.2.1.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.14.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

ステップ 19.2.1.14.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

ステップ 19.2.1.14.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2}) - 20$

ステップ 19.2.1.15

$9 (\frac{9}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.15.1

$9$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{2} - 20$

ステップ 19.2.1.15.2

$9$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} - 20$

ステップ 19.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$\frac{81}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2} - 20$

ステップ 19.2.2.2

$\frac{81}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 20$

ステップ 19.2.2.3

$- 20$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1}$

ステップ 19.2.2.4

$\frac{- 20}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 19.2.2.5

$\frac{- 20}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

ステップ 19.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

ステップ 19.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 - 20 \cdot 4}{4}$

ステップ 19.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 19.2.4.1

$81$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 20 \cdot 4}{4}$

ステップ 19.2.4.2

$- 20$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 80}{4}$

ステップ 19.2.5

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 19.2.5.1

$- 81$ と $162$ をたし算します。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{81 - 80}{4}$

ステップ 19.2.5.2

$81$ から $80$ を引きます。

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}$

ステップ 19.2.6

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$y = \frac{1}{4}$

ステップ 20

$f (x) = - x^{4} + 9 x^{2} - 20$ の極値です。

$(0, - 20)$ は極小値です

$(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4})$ は極大値です

$(- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4})$ は極大値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例