微分積分例

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} e^{x}$

ステップ 1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} 3 \frac{1}{x^{2}} e^{x}$

ステップ 1.2

因数をまとめます。

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ステップ 1.2.1

$3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} e^{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{3}{x^{2}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 2.1.2

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $3$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 2.1.2.1

定数の倍数 $3$ を削除した極限を考えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

ステップ 2.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

ステップ 3.1.2

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $3$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 3.1.2.1

定数の倍数 $3$ を削除した極限を考えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

ステップ 3.1.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

ステップ 3.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 3.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2}$

ステップ 4

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $\frac{3}{2}$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 4.1

定数の倍数 $\frac{3}{2}$ を削除した極限を考えます。

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

ステップ 4.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\infty$

微分積分 例

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