微分積分例

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{x - b}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $30$ を ${(x - b)}^{30}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $b$ に近づくと定数である $b$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.6

$x$ が $b$ に近づくと定数である $4 b$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.7

すべての $x$ に $b$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.7.1

$x$ を $b$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(b - b)}^{30} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.7.2

$x$ を $b$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(b - b)}^{30} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.8

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.8.1

${(b - b)}^{30} - 4 b + 4 b$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.2.8.1.1

$b$ から $b$ を引きます。

$\frac{0^{30} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.8.1.2

$- 4 b$ と $4 b$ をたし算します。

$\frac{0^{30} + 0}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.8.1.3

$0^{30}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0^{30}}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.2.8.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $b$ に近づくと定数である $b$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $b$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{b - b}$

ステップ 1.1.3.3

$b$ から $b$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b}{x - b} = lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 ${(x - b)}^{30} - 4 x + 4 b$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]$ です。

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{30}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$f (x) = x^{30}$ および $g (x) = x - b$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - b$ とします。

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d u} [u^{30}] \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$n = 30$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to b} \frac{30 u^{29} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x - b$ で置き換えます。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.3.2

総和則では、 $x - b$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ です。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (1 + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.3.4

$- b$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- b$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.3.6

$30$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.5

$4 b$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 b$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.6

$30 {(x - b)}^{29} - 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x - b$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ です。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- b]}$

ステップ 1.3.9

$- b$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- b$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1 + 0}$

ステップ 1.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to b} \frac{30 {(x - b)}^{29} - 4}{1}$

ステップ 1.4

$30 {(x - b)}^{29} - 4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to b} 30 {(x - b)}^{29} - 4$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to b} 30 {(x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

ステップ 2.2

$30$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$30 lim_{x \to b} {(x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

ステップ 2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $29$ を ${(x - b)}^{29}$ から極限値外側に移動させます。

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

ステップ 2.4

$x$ が $b$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$30 {(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

ステップ 2.5

$x$ が $b$ に近づくと定数である $b$ の極限値を求めます。

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - lim_{x \to b} 4$

ステップ 2.6

$x$ が $b$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$30 {(lim_{x \to b} x - b)}^{29} - 1 \cdot 4$

ステップ 3

$x$ を $b$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$30 {(b - b)}^{29} - 1 \cdot 4$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$b$ から $b$ を引きます。

$30 \cdot 0^{29} - 1 \cdot 4$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$30 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 4.2.2

$30$ に $0$ をかけます。

$0 - 1 \cdot 4$

ステップ 4.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$0 - 4$

ステップ 4.3

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

微分積分 例

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