微分積分例

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.2.1.2

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.2.1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.2.1.4

$x$ が $3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{\sin (6 - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.2.3.2

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.2.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}$

ステップ 1.3.3

$x$ が $3$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (4 - lim_{x \to 3} x)}$

ステップ 1.3.4

項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

ステップ 1.3.4.2

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{\ln (1)}$

ステップ 1.3.4.2.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 6$ とします。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 6$ で置き換えます。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $2 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.7

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.9

$2$ を $\cos (2 x - 6)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.10

$2$ に $\cos (2 x - 6)$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

ステップ 3.11

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x$ とします。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x]}$

ステップ 3.11.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

ステップ 3.11.3

$u$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

ステップ 3.12

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}$

ステップ 3.13

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

ステップ 3.14

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 3.15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.17

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \cdot - 1}$

ステップ 3.18

$\frac{1}{4 - x}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{- 1}{4 - x}}$

ステップ 3.19

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{- \frac{1}{4 - x}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 3} 2 \cos (2 x - 6) (- (4 - x))$

ステップ 5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 3} - 2 \cos (2 x - 6) (4 - x)$

ステップ 6

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) (4 - x)$

ステップ 7

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

ステップ 8

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

ステップ 9

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

ステップ 10

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

ステップ 11

$x$ が $3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

ステップ 12

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)$

ステップ 13

$x$ が $3$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

ステップ 14

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

ステップ 14.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

ステップ 15

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$- 2 \cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

ステップ 15.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 2 \cos (6 - 6) \cdot (4 - 3)$

ステップ 15.2

$6$ から $6$ を引きます。

$- 2 \cos (0) \cdot (4 - 3)$

ステップ 15.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 \cdot 1 \cdot (4 - 3)$

ステップ 15.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \cdot (4 - 3)$

ステップ 15.5

$4$ から $3$ を引きます。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 15.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

微分積分 例

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