微分積分例

Let $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} - 18 x + 12$ です。

$6 x^{2} - 18 x + 12$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ を $6 x^{2} - 18 x + 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$6$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$6$ を $12$ で因数分解します。

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$6$ を $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x + 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

最終解は $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

指数を足して $2$ に ${(2)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1.1

$2$ に ${(2)}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

ステップ 4.1.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

ステップ 4.1.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ を $4$ 乗します。

$16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

ステップ 4.1.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$16 - 9 \cdot 4 + 12 (2)$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 9$ に $4$ をかけます。

$16 - 36 + 12 (2)$

ステップ 4.1.2.1.5

$12$ に $2$ をかけます。

$16 - 36 + 24$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$16$ から $36$ を引きます。

$- 20 + 24$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 20$ と $24$ をたし算します。

$4$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

ステップ 4.2.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 - 9 \cdot 1 + 12 (1)$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$2 - 9 + 12 (1)$

ステップ 4.2.2.1.5

$12$ に $1$ をかけます。

$2 - 9 + 12$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$2$ から $9$ を引きます。

$- 7 + 12$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 7$ と $12$ をたし算します。

$5$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, 4), (1, 5)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例