微分積分例

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

ステップ 1.4.2

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ と $0$ をたし算します。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 0$

ステップ 2.4.2

$20 x^{3} - 24 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

微分します。

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ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ です。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 5.2

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 5.3

群による因数分解。

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ステップ 5.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ で和が $b = - 12$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.3.1.1

$- 12$ を $- 12 u$ で因数分解します。

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

ステップ 5.3.1.2

$- 12$ を $- 2$ プラス $- 10$ に書き換える

$5 u^{2} + (- 2 - 10) u + 4 = 0$

ステップ 5.3.1.3

分配則を当てはめます。

$5 u^{2} - 2 u - 10 u + 4 = 0$

ステップ 5.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(5 u^{2} - 2 u) - 10 u + 4 = 0$

ステップ 5.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (5 u - 2) - 2 (5 u - 2) = 0$

ステップ 5.3.3

最大公約数 $5 u - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(5 u - 2) (u - 2) = 0$

ステップ 5.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 u - 2 = 0$

$u - 2 = 0$

ステップ 5.5

$5 u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$5 u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$5 u - 2 = 0$

ステップ 5.5.2

$u$ について $5 u - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$5 u = 2$

ステップ 5.5.2.2

$5 u = 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$5 u = 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{2}{5}$

ステップ 5.6

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.6.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 5.7

最終解は $(5 u - 2) (u - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{2}{5}, 2$

ステップ 5.8

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = \frac{2}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 2$

ステップ 5.9

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = \frac{2}{5}$

ステップ 5.10

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.10.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

ステップ 5.10.2

$\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ を簡約します。

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ステップ 5.10.2.1

$\sqrt{\frac{2}{5}}$ を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

ステップ 5.10.2.2

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 5.10.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.10.2.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 5.10.2.3.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 5.10.2.3.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 5.10.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.10.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 5.10.2.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 5.10.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.10.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.10.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.10.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.10.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.10.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 5.10.2.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 5.10.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.10.2.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

ステップ 5.10.2.4.2

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 5.10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.10.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 5.10.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 5.10.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 5.11

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = 2$

ステップ 5.12

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.12.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 2$

ステップ 5.12.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 5.12.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 5.12.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 5.12.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 5.13

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ の解は $x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ です。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 8

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$20 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{10}}{5}$ に当てはめます。

$20 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.2.1

${\sqrt{10}}^{3}$ を $\sqrt{10^{3}}$ に書き換えます。

$20 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.2.2

$10$ を $3$ 乗します。

$20 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.2.3

$1000$ を $10^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

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ステップ 9.1.2.3.1

$100$ を $1000$ で因数分解します。

$20 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.2.3.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$20 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.3

$5$ を $3$ 乗します。

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.4.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$5 (4) \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.4.2

$5$ を $125$ で因数分解します。

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.4.3

共通因数を約分します。

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.4.4

式を書き換えます。

$4 \frac{10 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.5

$4$ と $\frac{10 \sqrt{10}}{25}$ をまとめます。

$\frac{4 (10 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.6

$10$ に $4$ をかけます。

$\frac{40 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.7

$40$ と $25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.7.1

$5$ を $40 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.7.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.8

$- 24$ と $\frac{\sqrt{10}}{5}$ をまとめます。

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 \sqrt{10} - 24 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.2.2

$8 \sqrt{10}$ から $24 \sqrt{10}$ を引きます。

$\frac{- 16 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 9.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 10

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{10}}{5}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{10}}{5}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.1

${\sqrt{10}}^{5}$ を $\sqrt{10^{5}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.2.2

$10$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.2.3

$100000$ を $100^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.3.1

$10000$ を $100000$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.2.3.2

$10000$ を $100^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.3

$5$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.4

$100$ と $3125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

$25$ を $100 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.2.1

$25$ を $3125$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.5

積の法則を $\frac{\sqrt{10}}{5}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.6.1

${\sqrt{10}}^{3}$ を $\sqrt{10^{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.6.2

$10$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.6.3

$1000$ を $10^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.6.3.1

$100$ を $1000$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.6.3.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.6.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.7

$5$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.8

$10$ と $125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.8.1

$5$ を $10 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.8.2.1

$5$ を $125$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.8.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.9

$- 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.9.1

$- 4$ と $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.9.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 11.2.1.11

$4$ と $\frac{\sqrt{10}}{5}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 11.2.2

$- \frac{8 \sqrt{10}}{25}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 11.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $125$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 11.2.3.2

$25$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 11.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1.1

$5$ に $- 8$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 40 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 11.2.5.1.2

$4 \sqrt{10}$ から $40 \sqrt{10}$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 11.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 11.2.6

$\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{25}{25}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

ステップ 11.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $125$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.7.1

$\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ に $\frac{25}{25}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

ステップ 11.2.7.2

$5$ に $25$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

ステップ 11.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

ステップ 11.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.9.1

$25$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

ステップ 11.2.9.2

$- 36 \sqrt{10}$ と $100 \sqrt{10}$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

ステップ 11.2.10

最終的な答えは $\frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ です。

$y = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

ステップ 12

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$20 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ に当てはめます。

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{10}}{5}$ に当てはめます。

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$20 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.1

${\sqrt{10}}^{3}$ を $\sqrt{10^{3}}$ に書き換えます。

$20 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.3.2

$10$ を $3$ 乗します。

$20 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.3.3

$1000$ を $10^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.3.1

$100$ を $1000$ で因数分解します。

$20 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.3.3.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$20 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.3.4

累乗根の下から項を取り出します。

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.4

$5$ を $3$ 乗します。

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.5.1

$- \frac{10 \sqrt{10}}{125}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$20 \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.5.2

$5$ を $20$ で因数分解します。

$5 (4) \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.5.3

$5$ を $125$ で因数分解します。

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.5.4

共通因数を約分します。

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.5.5

式を書き換えます。

$4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.6

$4$ と $\frac{- 10 \sqrt{10}}{25}$ をまとめます。

$\frac{4 (- 10 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.7

$- 10$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 40 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.8

$- 40$ と $25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.8.1

$5$ を $- 40 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.8.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

ステップ 13.1.10

$- 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.10.1

$- 1$ に $- 24$ をかけます。

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

ステップ 13.1.10.2

$24$ と $\frac{\sqrt{10}}{5}$ をまとめます。

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 13.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 13.2.2

$- 8 \sqrt{10}$ と $24 \sqrt{10}$ をたし算します。

$\frac{16 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 14

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ は極小値です

ステップ 15

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{10}}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.1

${\sqrt{10}}^{5}$ を $\sqrt{10^{5}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.3.2

$10$ を $5$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.3.3

$100000$ を $100^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.3.1

$10000$ を $100000$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.3.3.2

$10000$ を $100^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.3.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.4

$5$ を $5$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.5

$100$ と $3125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.5.1

$25$ を $100 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.5.2.1

$25$ を $3125$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.6.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.6.2

積の法則を $\frac{\sqrt{10}}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}})) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.7

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.8.1

${\sqrt{10}}^{3}$ を $\sqrt{10^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.8.2

$10$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.8.3

$1000$ を $10^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.8.3.1

$100$ を $1000$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.8.3.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.8.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.9

$5$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.10

$10$ と $125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.10.1

$5$ を $10 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.10.2.1

$5$ を $125$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.10.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.10.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.11

$- 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.11.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.11.2

$4$ と $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.11.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

ステップ 15.2.1.12

$4 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.12.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - 4 \frac{\sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 15.2.1.12.2

$- 4$ と $\frac{\sqrt{10}}{5}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{- 4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 15.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 15.2.2

$\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 15.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $125$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 15.2.3.2

$25$ に $5$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 15.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 15.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$5$ に $8$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 40 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 15.2.5.2

$- 4 \sqrt{10}$ と $40 \sqrt{10}$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

ステップ 15.2.6

$- \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{25}{25}$ を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

ステップ 15.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $125$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.7.1

$\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ に $\frac{25}{25}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

ステップ 15.2.7.2

$5$ に $25$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

ステップ 15.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

ステップ 15.2.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.9.1.1

$25$ に $- 4$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

ステップ 15.2.9.1.2

$36 \sqrt{10}$ から $100 \sqrt{10}$ を引きます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 64 \sqrt{10}}{125} - 1$

ステップ 15.2.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

ステップ 15.2.10

最終的な答えは $- \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ です。

$y = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

ステップ 16

$x = \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$20 {(\sqrt{2})}^{3} - 24 \sqrt{2}$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$20 \sqrt{2^{3}} - 24 \sqrt{2}$

ステップ 17.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$20 \sqrt{8} - 24 \sqrt{2}$

ステップ 17.1.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$20 \sqrt{4 (2)} - 24 \sqrt{2}$

ステップ 17.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$20 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 24 \sqrt{2}$

ステップ 17.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$20 (2 \sqrt{2}) - 24 \sqrt{2}$

ステップ 17.1.5

$2$ に $20$ をかけます。

$40 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

ステップ 17.2

$40 \sqrt{2}$ から $24 \sqrt{2}$ を引きます。

$16 \sqrt{2}$

ステップ 18

$x = \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{2}$ は極小値です

ステップ 19

$x = \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{5} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

${\sqrt{2}}^{5}$ を $\sqrt{2^{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{5}} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.2

$2$ を $5$ 乗します。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{32} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.3

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.3.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{16 (2)} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.3.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.5

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{3}} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.6

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{8} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.7

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.7.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{4 (2)} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 (2 \sqrt{2}) + 4 (\sqrt{2}) - 1$

ステップ 19.2.1.9

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

ステップ 19.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$4 \sqrt{2}$ から $8 \sqrt{2}$ を引きます。

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

ステップ 19.2.2.2

$- 4 \sqrt{2}$ と $4 \sqrt{2}$ をたし算します。

$f (\sqrt{2}) = 0 - 1$

ステップ 19.2.2.3

$0$ から $1$ を引きます。

$f (\sqrt{2}) = - 1$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 20

$x = - \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$20 {(- \sqrt{2})}^{3} - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$20 (- {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21.1.3

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$20 (- \sqrt{2^{3}}) - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$20 (- \sqrt{8}) - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21.1.5

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$20 (- \sqrt{4 (2)}) - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$20 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$20 (- (2 \sqrt{2})) - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21.1.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$20 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21.1.8

$- 2$ に $20$ をかけます。

$- 40 \sqrt{2} - 24 (- \sqrt{2})$

ステップ 21.1.9

$- 1$ に $- 24$ をかけます。

$- 40 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

ステップ 21.2

$- 40 \sqrt{2}$ と $24 \sqrt{2}$ をたし算します。

$- 16 \sqrt{2}$

ステップ 22

$x = - \sqrt{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{2}$ は極大値です

ステップ 23

$x = - \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.3

${\sqrt{2}}^{5}$ を $\sqrt{2^{5}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{5}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.4

$2$ を $5$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{32} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.5

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1.5.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{16 (2)} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.5.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{2}) = - (4 \sqrt{2}) - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.8

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.9

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.10

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{3}}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.11

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{8}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.12

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1.12.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{4 (2)}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.12.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.13

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- (2 \sqrt{2})) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.15

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

ステップ 23.2.1.16

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

ステップ 23.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.2.1

$- 4 \sqrt{2}$ と $8 \sqrt{2}$ をたし算します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

ステップ 23.2.2.2

$4 \sqrt{2}$ から $4 \sqrt{2}$ を引きます。

$f (- \sqrt{2}) = 0 - 1$

ステップ 23.2.2.3

$0$ から $1$ を引きます。

$f (- \sqrt{2}) = - 1$

ステップ 23.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 24

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ の極値です。

$(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ は極大値です

$(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ は極小値です

$(\sqrt{2}, - 1)$ は極小値です

$(- \sqrt{2}, - 1)$ は極大値です

ステップ 25

微分積分 例

微分積分例