微分積分例

$y = \frac{- x^{3} \cdot \cos (x^{3})}{3}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \cos (x^{3})}{3}]$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{3} \cos (x^{3})}{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{3})]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{3})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$- \frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 5

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- \frac{1}{3} (x^{2} x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{3} (x^{2 + 3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 5.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3}) (x^{5} (\sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 7.2.2

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} (x^{5} (\sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 7.2.3

$x^{5}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{5} \cdot 3}{3} \sin (x^{3}) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 7.2.4

$\frac{x^{5} \cdot 3}{3}$ と $\sin (x^{3})$ をまとめます。

$\frac{x^{5} \cdot 3 \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 7.2.5

$3$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{5} \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 7.2.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{5} \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 7.2.6.2

$x^{5} \sin (x^{3})$ を $1$ で割ります。

$x^{5} \sin (x^{3}) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 7.2.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{5} \sin (x^{3}) - 3 (\frac{1}{3}) (\cos (x^{3}) (x^{2}))$

ステップ 7.2.8

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- 3}{3} (\cos (x^{3}) (x^{2}))$

ステップ 7.2.9

$\cos (x^{3})$ と $\frac{- 3}{3}$ をまとめます。

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3}{3} x^{2}$

ステップ 7.2.10

$\frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3 x^{2}}{3}$

ステップ 7.2.11

$- 3$ を $\cos (x^{3})$ の左に移動させます。

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- 3 \cdot \cos (x^{3}) x^{2}}{3}$

ステップ 7.2.12

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.12.1

$3$ を $- 3 \cos (x^{3}) x^{2}$ で因数分解します。

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3}$

ステップ 7.2.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.12.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3 (1)}$

ステップ 7.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3 \cdot 1}$

ステップ 7.2.12.2.3

式を書き換えます。

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- \cos (x^{3}) x^{2}}{1}$

ステップ 7.2.12.2.4

$- \cos (x^{3}) x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{5} \sin (x^{3}) - \cos (x^{3}) x^{2}$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$x^{5} \sin (x^{3}) - x^{2} \cos (x^{3})$

微分積分 例

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