微分積分例

$\int \frac{2 x^{2} + 3}{x^{3} - 2 x^{2} + x} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$x$ を $x^{3} - 2 x^{2} + x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + x}$

ステップ 1.1.1.1.2

$x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x}$

ステップ 1.1.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x^{1}}$

ステップ 1.1.1.1.4

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.1.5

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.1.6

$x$ を $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 x + 1)}$

ステップ 1.1.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 x + 1^{2})}$

ステップ 1.1.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.1.1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}$

ステップ 1.1.1.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 3}{x {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x {(x - 1)}^{2}$ です。

$\frac{(2 x^{2} + 3) (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x^{2} + 3) (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(2 x^{2} + 3) ({(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.6

${(x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x^{2} + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.6.2

$2 x^{2} + 3$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} + 3 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + 3 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.1.2

$A ({(x - 1)}^{2})$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} + 3 = A ({(x - 1)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.2

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$2 x^{2} + 3 = A ((x - 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.3.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 3 = A (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 3 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.3.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 3 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.4.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.4.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.4.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.4.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - x - x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.4.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.6.2

$A$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.7

${(x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.7.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{B (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.7.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.8

${(x - 1)}^{2}$ と $x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.8.1

$x - 1$ を $(C) (x {(x - 1)}^{2})$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{x - 1}$

ステップ 1.1.7.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.8.2.1

$1$ を掛けます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

ステップ 1.1.7.8.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

ステップ 1.1.7.8.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{C (x (x - 1))}{1}$

ステップ 1.1.7.8.2.4

$C (x (x - 1))$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x (x - 1))$

ステップ 1.1.7.9

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

ステップ 1.1.7.10

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

ステップ 1.1.7.11

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

ステップ 1.1.7.12

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - x)$

ステップ 1.1.7.13

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} + C (- x)$

ステップ 1.1.7.14

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$A$ を移動させます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.8.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

ステップ 1.1.8.3

$A$ を移動させます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x + C x^{2} - C x + A$

ステップ 1.1.8.4

$B x$ を移動させます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + C x^{2} + B x - C x + A$

ステップ 1.1.8.5

$- 2 x A$ を移動させます。

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - C x + A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A + C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 2 A + B - 1 C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$2 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$3 = A$

$2 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$3 = A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

方程式を $A = 3$ として書き換えます。

$A = 3$

$2 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$2 = A + C$ の $A$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$2 = (3) + C$

$A = 3$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

ステップ 1.3.2.3

$0 = - 2 A + B - 1 C$ の $A$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$0 = - 2 \cdot 3 + B - 1 C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$0 = - 6 + B - 1 C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

ステップ 1.3.2.4.1.2

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

ステップ 1.3.3

$2 = 3 + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $3 + C = 2$ として書き換えます。

$3 + C = 2$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

ステップ 1.3.3.2

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$C = 2 - 3$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

ステップ 1.3.3.2.2

$2$ から $3$ を引きます。

$C = - 1$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

$C = - 1$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

$C = - 1$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

ステップ 1.3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$0 = - 6 + B - C$ の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$0 = - 6 + B - (- 1)$

$C = - 1$

$A = 3$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$- 6 + B - (- 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 = - 6 + B + 1$

$C = - 1$

$A = 3$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$- 6$ と $1$ をたし算します。

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

ステップ 1.3.5

$0 = B - 5$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

方程式を $B - 5 = 0$ として書き換えます。

$B - 5 = 0$

$C = - 1$

$A = 3$

ステップ 1.3.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$B = 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 1$

$A = 3$

ステップ 1.3.6

連立方程式を解きます。

$B = 5 C = - 1 A = 3$

ステップ 1.3.7

すべての解をまとめます。

$B = 5, C = - 1, A = 3$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 1}$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 6

$u_{1} = x - 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{1} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 7.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 7.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 10

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 10.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 10.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 10.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 12

簡約します。

$3 \ln (| x |) - \frac{5}{u_{1}} - \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$3 \ln (| x |) - \frac{5}{x - 1} - \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 13.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$3 \ln (| x |) - \frac{5}{x - 1} - \ln (| x - 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例