微分積分例

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

ステップ 1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $π$ を積分の外に移動させます。

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

ステップ 2

$u = 4 - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 4 - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$4 - 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $4 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 2.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 2.2

$u = 4 - 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 4 + 0$

ステップ 2.3.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 2.4

$u = 4 - 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 4 - 4$

ステップ 2.5.2

$4$ から $4$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 3.2

$u^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

ステップ 6

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$0$ および $4$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

ステップ 8.2.2

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

ステップ 8.2.3

$4$ を $3$ 乗します。

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

ステップ 8.2.4

$64$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

ステップ 8.2.5

$- 64$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

ステップ 8.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

ステップ 8.2.7

$0$ から $\frac{64}{3}$ を引きます。

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

ステップ 8.2.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

ステップ 8.2.9

$\frac{π}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

ステップ 8.2.10

$\frac{π}{2}$ に $\frac{64}{3}$ をかけます。

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

ステップ 8.2.11

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{π \cdot 64}{6}$

ステップ 8.2.12

$64$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{64 \cdot π}{6}$

ステップ 8.2.13

$64$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.13.1

$2$ を $64 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (32 π)}{6}$

ステップ 8.2.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.13.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

ステップ 8.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

ステップ 8.2.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{32 π}{3}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{32 π}{3}$

10進法形式：

$33.51032163 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例