微分積分例

$\cos (5 x + y) = y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\cos (5 x + y)) = \frac{d}{d x} (y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 5 x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x + y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $5 x + y$ で置き換えます。

$- \sin (5 x + y) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $5 x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$- \sin (5 x + y) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (5 x + y) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (5 x + y) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.4

$5$ に $1$ をかけます。

$- \sin (5 x + y) (5 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \sin (5 x + y) (5 + y')$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- \sin (5 x + y) (5 + y')$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

書き換えます。

$0 + 0 - \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

ステップ 5.1.1.2

0を加えて簡約します。

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

ステップ 5.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- \sin (5 x + y) \cdot 5 - \sin (5 x + y) y' = y'$

ステップ 5.1.1.4

式を簡約します。

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ステップ 5.1.1.4.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y' = y'$

ステップ 5.1.1.4.2

$- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y'$ の因数を並べ替えます。

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) = y'$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $y'$ を引きます。

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) - y' = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $5 \sin (5 x + y)$ を足します。

$- y' \sin (5 x + y) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

ステップ 5.4

$y'$ を $- y' \sin (5 x + y) - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$y'$ を $- y' \sin (5 x + y)$ で因数分解します。

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1 = 5 \sin (5 x + y)$

ステップ 5.4.3

$y'$ を $y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (- 1 \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

ステップ 5.5

$- 1 \sin (5 x + y)$ を $- \sin (5 x + y)$ に書き換えます。

$y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

ステップ 5.6

$y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ の各項を $- \sin (5 x + y) - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ の各項を $- \sin (5 x + y) - 1$ で割ります。

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$- \sin (5 x + y) - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

ステップ 5.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1

$- 1$ を $- \sin (5 x + y) - 1$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.3.1.1

$- 1$ を $- \sin (5 x + y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1}$

ステップ 5.6.3.1.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)}$

ステップ 5.6.3.1.3

$- 1$ を $- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y) + 1)}$

ステップ 5.6.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$

微分積分 例

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