微分積分例

Let $g (x) = x^{4} - x^{5}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} - x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

ステップ 1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

ステップ 1.3

項を並べ替えます。

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ です。

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{4}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$g'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.2.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$g'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

ステップ 2.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

ステップ 4.1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

ステップ 4.1.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 5 x^{4} + 4 x^{3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ です。

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

ステップ 5.2

$- x^{3}$ を $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$- x^{3}$ を $- 5 x^{4}$ で因数分解します。

$- x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

ステップ 5.2.2

$- x^{3}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$- x^{3} (5 x) - x^{3} \cdot - 4 = 0$

ステップ 5.2.3

$- x^{3}$ を $- x^{3} (5 x) - x^{3} (- 4)$ で因数分解します。

$- x^{3} (5 x - 4) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$5 x - 4 = 0$

ステップ 5.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5.5

$5 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$5 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$5 x - 4 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $5 x - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$5 x = 4$

ステップ 5.5.2.2

$5 x = 4$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$5 x = 4$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{5}$

ステップ 5.6

最終解は $- x^{3} (5 x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{4}{5}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, \frac{4}{5}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.2

$- 20$ に $0$ をかけます。

$0 + 12 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 12 \cdot 0$

ステップ 9.1.4

$12$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$g' (- 2) = - 5 {(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$g' (- 2) = - 5 \cdot 16 + 4 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.2

$- 5$ に $16$ をかけます。

$g' (- 2) = - 80 + 4 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$g' (- 2) = - 80 + 4 \cdot - 8$

ステップ 10.2.2.1.4

$4$ に $- 8$ をかけます。

$g' (- 2) = - 80 - 32$

ステップ 10.2.2.2

$- 80$ から $32$ を引きます。

$g' (- 2) = - 112$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 112$ です。

$- 112$

ステップ 10.3

一次導関数 $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ の区間 $(0, \frac{4}{5})$ から $0.4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $0.4$ で置換えます。

$g' (0.4) = - 5 {(0.4)}^{4} + 4 {(0.4)}^{3}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$0.4$ を $4$ 乗します。

$g' (0.4) = - 5 \cdot 0.0256 + 4 {(0.4)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.2

$- 5$ に $0.0256$ をかけます。

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 {(0.4)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.3

$0.4$ を $3$ 乗します。

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 \cdot 0.064$

ステップ 10.3.2.1.4

$4$ に $0.064$ をかけます。

$g' (0.4) = - 0.128 + 0.256$

ステップ 10.3.2.2

$- 0.128$ と $0.256$ をたし算します。

$g' (0.4) = 0.128$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $0.128$ です。

$0.128$

ステップ 10.4

一次導関数 $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ の区間 $(\frac{4}{5}, \infty)$ から $3$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$g' (3) = - 5 {(3)}^{4} + 4 {(3)}^{3}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$g' (3) = - 5 \cdot 81 + 4 {(3)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.2

$- 5$ に $81$ をかけます。

$g' (3) = - 405 + 4 {(3)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$g' (3) = - 405 + 4 \cdot 27$

ステップ 10.4.2.1.4

$4$ に $27$ をかけます。

$g' (3) = - 405 + 108$

ステップ 10.4.2.2

$- 405$ と $108$ をたし算します。

$g' (3) = - 297$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $- 297$ です。

$- 297$

ステップ 10.5

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 10.6

$x = \frac{4}{5}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = \frac{4}{5}$ は極大値です。

$x = \frac{4}{5}$ は極大値です

ステップ 10.7

$g (x) = x^{4} - x^{5}$ の極値です。

$x = 0$ は極小値です

$x = \frac{4}{5}$ は極大値です

$x = 0$ は極小値です

$x = \frac{4}{5}$ は極大値です

ステップ 11

微分積分 例

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