微分積分例

$\ln (e^{3 x} + x)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{3 x} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{3 x} + x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{3 x} + x$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{3 x} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.2

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ の因数を並べ替えます。

$(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}$

ステップ 5.2

$3 e^{3 x} + 1$ に $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ をかけます。

$\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$

微分積分 例

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