微分積分例

$lim_{x \to \infty} {(1 + x)}^{\frac{3}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(1 + x)}^{\frac{3}{x}}$ を $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{3}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{3}{x} \ln (1 + x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} \ln (1 + x)}$

ステップ 2.2

$\frac{3}{x}$ と $\ln (1 + x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{3 \ln (1 + x)}{x}}$

ステップ 2.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{3 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

ステップ 3.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$e^{3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

ステップ 3.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$e^{3 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{3 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x$ とします。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7

$\frac{1}{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.8

項を並べ替えます。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x + 1}$ は $0$ に近づきます。

$e^{3 \cdot 0}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 5.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

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