微分積分例

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 2 x^{2} - 1$ および $g (x) = 5 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $2 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(5 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(5 x + 2) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(5 x + 2) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(5 x + 2) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(5 x + 2) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.2

$4$ を $5 x + 2$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $5 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.12

式を簡約します。

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ステップ 3.2.12.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.12.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (5 x + 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 (5 x) + 4 \cdot 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (5 (x \cdot x)) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.4

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.5

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$20 x^{2}$ から $10 x^{2}$ を引きます。

$\frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例