微分積分例

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t$

ステップ 1

総和を分割し、 $t$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t = 7 (\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t - \sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t)$

ステップ 2

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t = \sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 \sum_{t = 1}^{9} t$

ステップ 2.2

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 2.2.2

値を公式に代入します。

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.1

$3$ を $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

ステップ 2.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

ステップ 2.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

ステップ 2.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

ステップ 2.2.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

ステップ 2.2.3.2.2

$9$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

ステップ 2.2.3.2.3

$3$ に $10$ をかけます。

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

ステップ 2.2.3.2.4

$18$ と $1$ をたし算します。

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

ステップ 2.2.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.3.1

$30$ に $19$ をかけます。

$\frac{570}{2}$

ステップ 2.2.3.3.2

$570$ を $2$ で割ります。

$285$

ステップ 2.3

$7 \sum_{t = 1}^{9} t$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 2.3.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 7) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$9$ と $1$ をたし算します。

$- 7 \frac{9 \cdot 10}{2}$

ステップ 2.3.3.2

$9$ に $10$ をかけます。

$- 7 (\frac{90}{2})$

ステップ 2.3.3.3

$90$ を $2$ で割ります。

$- 7 \cdot 45$

ステップ 2.3.3.4

$- 7$ に $45$ をかけます。

$- 315$

ステップ 2.4

合計した結果を足します。

$285 - 315$

ステップ 2.5

$285$ から $315$ を引きます。

$- 30$

ステップ 3

$\sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$t$ の各値の級数を展開します。

$1^{2} - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

ステップ 3.2.2

$- 7$ に $1$ をかけます。

$1 - 7 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

ステップ 3.2.3

$1$ から $7$ を引きます。

$- 6 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

ステップ 3.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$- 6 + 4 - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

ステップ 3.2.5

$- 7$ に $2$ をかけます。

$- 6 + 4 - 14 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

ステップ 3.2.6

$4$ から $14$ を引きます。

$- 6 - 10 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

ステップ 3.2.7

$- 6$ から $10$ を引きます。

$- 16 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

ステップ 3.2.8

$3$ を $2$ 乗します。

$- 16 + 9 - 7 \cdot 3$

ステップ 3.2.9

$- 7$ に $3$ をかけます。

$- 16 + 9 - 21$

ステップ 3.2.10

$9$ から $21$ を引きます。

$- 16 - 12$

ステップ 3.2.11

$- 16$ から $12$ を引きます。

$- 28$

ステップ 4

総和を求めた値で置換します。

$7 (- 30 + 28)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 30$ と $28$ をたし算します。

$7 \cdot - 2$

ステップ 5.2

$7$ に $- 2$ をかけます。

$- 14$

微分積分 例

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