微分積分例

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 4 x} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

$x$ を $x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (x - 4)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x - 4)$ です。

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.5

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.6.1.2

$A (x - 4)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.6.3

$- 4$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.6.4

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 1.1.6.4.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

ステップ 1.1.7

$- 4 A$ を移動させます。

$1 = A x + B x - 4 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 4 A$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$1 = - 4 A$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $- 4 A = 1$ として書き換えます。

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2

$- 4 A = 1$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.1.2.1

$- 4 A = 1$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- \frac{1}{4}$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- \frac{1}{4}$ で置き換えます。

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3

$0 = - \frac{1}{4} + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $- \frac{1}{4} + B = 0$ として書き換えます。

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の両辺に $\frac{1}{4}$ を足します。

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4

連立方程式を解きます。

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

ステップ 1.5.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

ステップ 1.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

ステップ 1.5.5

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{x - 4}$ をかけます。

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 4} d x$

ステップ 7

$u = x - 4$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = x - 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 7.1.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u = x - 4$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 - 4$

ステップ 7.3

$2$ から $4$ を引きます。

$u_{lower} = - 2$

ステップ 7.4

$u = x - 4$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 - 4$

ステップ 7.5

$3$ から $4$ を引きます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 7.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$3$ および $2$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

ステップ 9.2

$- 1$ および $- 2$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 9.3

括弧を削除します。

$- \frac{1}{4} (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 10.2

$\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

ステップ 10.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

ステップ 10.4

$\frac{1}{4}$ と $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ をまとめます。

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$- \frac{\ln (\frac{3}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

ステップ 11.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

ステップ 11.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 1$ と $0$ の間の距離は $1$ です。

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{4}$

ステップ 11.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 2$ と $0$ の間の距離は $2$ です。

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

10進法形式：

$- 0.27465307 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例