微分積分例

$\sin (4 x^{2} + 3 x)$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x^{2} + 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{2} + 3 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} + 3 x$ で置き換えます。

$\cos (4 x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{2} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.4

$2$ に $4$ をかけます。

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (8 x + 3 \cdot 1)$

ステップ 2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$\cos (4 x^{2} + 3 x) (8 x + 3)$

微分積分 例