微分積分例

$\sin (x^{3} y) = x^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{3} y)) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{3} y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} y$ で置き換えます。

$\cos (x^{3} y) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

ステップ 2.5

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2})$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y') + \cos (x^{3} y) (3 y x^{2})$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

ステップ 3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ の因数を並べ替えます。

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ を引きます。

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

ステップ 5.3

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ の各項を $x^{3} \cos (x^{3} y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ の各項を $x^{3} \cos (x^{3} y)$ で割ります。

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.2.2

$\cos (x^{3} y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.1

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{3} \cos (x^{3} y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{3}{x \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数を分解します。

$y' = \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.3

$\frac{1}{\cos (x^{3} y)}$ を $\sec (x^{3} y)$ に変換します。

$y' = \frac{3}{x} \sec (x^{3} y) + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.4

$\frac{3}{x}$ と $\sec (x^{3} y)$ をまとめます。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.5

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.5.1

$x^{2}$ を $- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.5.2.1

$x^{2}$ を $x^{3} \cos (x^{3} y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

ステップ 5.3.3.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

ステップ 5.3.3.1.5.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.6

$\cos (x^{3} y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.6.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

ステップ 5.3.3.1.6.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y}{x}$

ステップ 5.3.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$

微分積分 例

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