微分積分例

$- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$

ステップ 1

$- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3} x^{6}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 (\frac{1}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.4

$- 6$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 6}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5

$\frac{- 6}{3}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{- 6 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.6

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$3$ を $- 6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.6.2.4

$- 2 x^{5}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{5}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- 2 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{5} - 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.3.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$- \frac{15}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{15}{2} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} (4 x^{3})$

ステップ 2.1.4.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 4 (\frac{15}{2}) x^{3}$

ステップ 2.1.4.4

$- 4$ と $\frac{15}{2}$ をまとめます。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 15}{2} x^{3}$

ステップ 2.1.4.5

$- 4$ に $15$ をかけます。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60}{2} x^{3}$

ステップ 2.1.4.6

$\frac{- 60}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60 x^{3}}{2}$

ステップ 2.1.4.7

$- 60$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.7.1

$2$ を $- 60 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2}$

ステップ 2.1.4.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (1)}$

ステップ 2.1.4.7.2.2

共通因数を約分します。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.4.7.2.3

式を書き換えます。

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 30 x^{3}}{1}$

ステップ 2.1.4.7.2.4

$- 30 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = - 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{5}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$5$ に $- 2$ をかけます。

$- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{4}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 10 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

ステップ 2.2.3.3

$4$ に $- 15$ をかけます。

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$- 30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 30 x^{3}$ の微分係数は $- 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 (3 x^{2})$

ステップ 2.2.4.3

$3$ に $- 30$ をかけます。

$f'' (x) = - 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ です。

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 10 x^{2}$ を $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 10 x^{2}$ を $- 10 x^{4}$ で因数分解します。

$- 10 x^{2} x^{2} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.2

$- 10 x^{2}$ を $- 60 x^{3}$ で因数分解します。

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 90 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.3

$- 10 x^{2}$ を $- 90 x^{2}$ で因数分解します。

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

ステップ 3.2.1.4

$- 10 x^{2}$ を $- 10 x^{2} (x^{2}) - 10 x^{2} (6 x)$ で因数分解します。

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

ステップ 3.2.1.5

$- 10 x^{2}$ を $- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} (9)$ で因数分解します。

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

ステップ 3.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 3.2.2.3

多項式を書き換えます。

$- 10 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.5

${(x + 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

${(x + 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について ${(x + 3)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.5.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.6

最終解は $- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 (\frac{1}{3}) - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.6

$- \frac{15}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 (\frac{15}{2})$

ステップ 4.1.2.1.6.2

$0$ に $\frac{15}{2}$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$- 3$ を $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{6} - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 3$ を $6$ 乗します。

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$3$ を $729$ で因数分解します。

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (243)) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (- 3) = - 1 \cdot 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 1$ に $243$ をかけます。

$f (- 3) = - 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4

指数を足して $- 3$ に ${(- 3)}^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$- 3$ に ${(- 3)}^{5}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1.1

$- 3$ を $1$ 乗します。

$f (- 3) = - 243 + (- 3) {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{1 + 5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{6} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 3$ を $6$ 乗します。

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.6

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot 81$

ステップ 4.3.2.1.7

$- \frac{15}{2} \cdot 81$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.7.1

$81$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 3) = - 243 + 729 - 81 (\frac{15}{2})$

ステップ 4.3.2.1.7.2

$- 81$ と $\frac{15}{2}$ をまとめます。

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 81 \cdot 15}{2}$

ステップ 4.3.2.1.7.3

$- 81$ に $15$ をかけます。

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 1215}{2}$

ステップ 4.3.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{1215}{2}$

ステップ 4.3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 243$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} + 729 - \frac{1215}{2}$

ステップ 4.3.2.2.2

$\frac{- 243}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} \cdot \frac{2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

ステップ 4.3.2.2.3

$\frac{- 243}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

ステップ 4.3.2.2.4

$729$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} - \frac{1215}{2}$

ステップ 4.3.2.2.5

$\frac{729}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1215}{2}$

ステップ 4.3.2.2.6

$\frac{729}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729 \cdot 2}{2} - \frac{1215}{2}$

ステップ 4.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

ステップ 4.3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$- 243$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 486 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

ステップ 4.3.2.4.2

$729$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 486 + 1458 - 1215}{2}$

ステップ 4.3.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$- 486$ と $1458$ をたし算します。

$f (- 3) = \frac{972 - 1215}{2}$

ステップ 4.3.2.5.2

$972$ から $1215$ を引きます。

$f (- 3) = \frac{- 243}{2}$

ステップ 4.3.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 3) = - \frac{243}{2}$

ステップ 4.3.2.6

最終的な答えは $- \frac{243}{2}$ です。

$- \frac{243}{2}$

ステップ 4.4

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ で代入して $- 3$ 求めた点は、 $(- 3, - \frac{243}{2})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 3, - \frac{243}{2})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 3, - \frac{243}{2})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3.1$ で置換えます。

$f'' (- 3.1) = - 10 {(- 3.1)}^{4} - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 3.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = - 10 \cdot 92.3521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 10$ に $92.3521$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 3.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 \cdot - 29.791 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

$- 60$ に $- 29.791$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

$- 3.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 \cdot 9.61$

ステップ 6.2.1.6

$- 90$ に $9.61$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 864.9$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 923.521$ と $1787.46$ をたし算します。

$f'' (- 3.1) = 863.939 - 864.9$

ステップ 6.2.2.2

$863.939$ から $864.9$ を引きます。

$f'' (- 3.1) = - 0.961$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.961$ です。

$- 0.961$

ステップ 6.3

$- 3.1$ で二次導関数は $- 0.961$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 3)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 3, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$\frac{3^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{3^{4}}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4

$3$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{81}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.6.1

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 5) (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.6.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.6.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{81}{8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.7

$- 5$ と $\frac{81}{8}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 81}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.8

$- 5$ に $81$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.10

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.10.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.10.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.11

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.12

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.13

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.14

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.14.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.14.2

$4$ を $- 60$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 (- 15) (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.14.3

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.14.4

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.14.5

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 15 (\frac{- 27}{2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.15

$- 15$ と $\frac{- 27}{2}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{- 15 \cdot - 27}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.16

$- 15$ に $- 27$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.17

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.17.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

ステップ 7.2.1.17.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 7.2.1.18

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 7.2.1.19

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

ステップ 7.2.1.20

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{9}{2^{2}}$

ステップ 7.2.1.21

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (\frac{9}{4})$

ステップ 7.2.1.22

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.22.1

$2$ を $- 90$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 (- 45) (\frac{9}{4})$

ステップ 7.2.1.22.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

ステップ 7.2.1.22.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

ステップ 7.2.1.22.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 45 (\frac{9}{2})$

ステップ 7.2.1.23

$- 45$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 45 \cdot 9}{2}$

ステップ 7.2.1.24

$- 45$ に $9$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 405}{2}$

ステップ 7.2.1.25

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - \frac{405}{2}$

ステップ 7.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{405 - 405}{2}$

ステップ 7.2.2.2

$405$ から $405$ を引きます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{0}{2}$

ステップ 7.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{0}{2}$

ステップ 7.2.3.2

$0$ を $2$ で割ります。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 0$

ステップ 7.2.4

$- \frac{405}{8}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $- \frac{405}{8}$ です。

$- \frac{405}{8}$

ステップ 7.3

$- \frac{3}{2}$ で二次導関数は $- 50.625$ です。これは負の値なので、 $(- 3, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 3, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = - 10 {(0.1)}^{4} - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.1) = - 10 \cdot 0.0001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$- 10$ に $0.0001$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 \cdot 0.001 - 90 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.4

$- 60$ に $0.001$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.5

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 \cdot 0.01$

ステップ 8.2.1.6

$- 90$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 0.9$

ステップ 8.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 0.001$ から $0.06$ を引きます。

$f'' (0.1) = - 0.061 - 0.9$

ステップ 8.2.2.2

$- 0.061$ から $0.9$ を引きます。

$f'' (0.1) = - 0.961$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 0.961$ です。

$- 0.961$

ステップ 8.3

$0.1$ で二次導関数は $- 0.961$ です。これは負の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。この条件を満たす点は、グラフ上に存在しません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例