微分積分例

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 1

$u = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

ステップ 2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

ステップ 2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\int 4 u \sin (u) d u$

ステップ 3

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int u \sin (u) d u$

ステップ 4

$w = u$ と $dv = \sin (u)$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

ステップ 6.2

$\int \cos (u) d u$ に $1$ をかけます。

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

ステップ 7

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

ステップ 8

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ を $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ に書き換えます。

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\cos (\frac{x}{2})$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 10.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1

$- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 10.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 10.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 10.3.4

式を書き換えます。

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 10.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 10.5

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$

微分積分 例

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