微分積分例

$\int (\frac{z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3}{\sqrt{z}}) d z$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int \frac{z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3}{\sqrt{z}} d z$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{z}$ を $z^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3}{z^{\frac{1}{2}}} d z$

ステップ 3

$z^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) {(z^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d z$

ステップ 4

${(z^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d z$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{\frac{- 1}{2}} d z$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5

$(z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2}) z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\int (z^{6} + 3 z^{4}) z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\int z^{6} z^{- \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int z^{6 - \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.5

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int z^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.6

$6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int z^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.7

公分母の分子をまとめます。

$\int z^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.8

分子を簡約します。

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ステップ 5.8.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\int z^{\frac{12 - 1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.8.2

$12$ から $1$ を引きます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{4 - \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.10

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.11

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.12

公分母の分子をまとめます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{4 \cdot 2 - 1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.13

分子を簡約します。

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ステップ 5.13.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{8 - 1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.13.2

$8$ から $1$ を引きます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.14

負をくくり出します。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - (z^{2} z^{- \frac{1}{2}}) - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{2 - \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.16

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.17

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.18

公分母の分子をまとめます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.19

分子を簡約します。

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ステップ 5.19.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{4 - 1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.19.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{3}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 5.20

$z^{\frac{11}{2}}$ と $3 z^{\frac{7}{2}}$ を並べ替えます。

$\int 3 z^{\frac{7}{2}} + z^{\frac{11}{2}} - z^{\frac{3}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 z^{\frac{7}{2}} d z + \int z^{\frac{11}{2}} d z + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 7

$3$ は $z$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int z^{\frac{7}{2}} d z + \int z^{\frac{11}{2}} d z + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 8

べき乗則では、 $z^{\frac{7}{2}}$ の $z$ に関する積分は $\frac{2}{9} z^{\frac{9}{2}}$ です。

$3 (\frac{2}{9} z^{\frac{9}{2}} + C) + \int z^{\frac{11}{2}} d z + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 9

べき乗則では、 $z^{\frac{11}{2}}$ の $z$ に関する積分は $\frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}}$ です。

$3 (\frac{2}{9} z^{\frac{9}{2}} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 10

$\frac{2}{9}$ と $z^{\frac{9}{2}}$ をまとめます。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 11

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - \int z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 12

べき乗則では、 $z^{\frac{3}{2}}$ の $z$ に関する積分は $\frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}}$ です。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 13

$\frac{2}{5}$ と $z^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 14

$- 3$ は $z$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 \int z^{- \frac{1}{2}} d z$

ステップ 15

べき乗則では、 $z^{- \frac{1}{2}}$ の $z$ に関する積分は $2 z^{\frac{1}{2}}$ です。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 (2 z^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

簡約します。

$\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 z^{\frac{13}{2}}}{13} - \frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} - 3 (2 z^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 z^{\frac{13}{2}}}{13} - \frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} - 6 z^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{2}{3} z^{\frac{9}{2}} + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} - \frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}} - 6 z^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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