微分積分例

$\int {(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} d x$

ステップ 1

$u = {(2 x + 3)}^{2}$ と $d v = e^{x + 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - \int e^{x + 1} (8 x + 12) d x$

ステップ 2

$u = 8 x + 12$ と $d v = e^{x + 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int e^{x + 1} \cdot 8 d x)$

ステップ 3

$8$ を $e^{x + 1}$ の左に移動させます。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int 8 e^{x + 1} d x)$

ステップ 4

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - (8 \int e^{x + 1} d x))$

ステップ 5

$8$ に $- 1$ をかけます。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{x + 1} d x)$

ステップ 6

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{u} d u)$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$ を $(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$ に書き換えます。

$(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2 x + 3$ を $1$ 乗します。

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

ステップ 8.2.2

$2 x + 3$ を $1$ 乗します。

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

ステップ 8.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(2 x + 3)}^{1 + 1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

ステップ 8.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{x + 1}) + C$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1}) - (- 8 e^{x + 1}) + C$

ステップ 10.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1} + C$

ステップ 10.3

$- (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1}$ の因数を並べ替えます。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - e^{x + 1} (8 x + 12) + 8 e^{x + 1} + C$

微分積分 例

微分積分例