微分積分例

$f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ を $\sec^{2} (5 x)$ に変換します。

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 5

$\frac{6}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{6}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 6

$u_{1} = 4 x + 2$ とします。次に $d u_{1} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{1} = 4 x + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$4 x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x + 2]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $4 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 6.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 6.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 6.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 7.2

$4$ を $\sqrt{u_{1}}$ の左に移動させます。

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{4 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{6}{5} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{6}{5}$ をかけます。

$\frac{6}{4 \cdot 5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.1.2

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{6}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.1.3

$6$ と $20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (3)}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.2.1

$2$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.2.2

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{3}{10} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.2.3

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 9.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 10

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

ステップ 11

$u_{2} = 5 x$ とします。次に $d u_{2} = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = 5 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 11.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

ステップ 12

$\sec^{2} (u_{2})$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{5} d u_{2}$

ステップ 13

$\frac{1}{5}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 14

$\tan (u_{2})$ の微分係数が $\sec^{2} (u_{2})$ なので、 $\sec^{2} (u_{2})$ の積分は $\tan (u_{2})$ です。

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} (\tan (u_{2}) + C)$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x + 2$ で置き換えます。

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

微分積分 例

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