微分積分例

$\int 4 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

ステップ 1

$4$ は $θ$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

ステップ 2

$u_{1} = \sin (θ)$ とします。次に $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ すると、 $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = \sin (θ)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\sin (θ)$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

ステップ 2.1.2

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$\cos (θ)$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 3

$\cos^{4} (u_{1})$ を因数分解します。

$4 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$4 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4.2

${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$4 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (u_{1})$ を $1 - \sin^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$4 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\sin (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

ステップ 6.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1})$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

ステップ 7

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 7.1

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ を $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ に書き換えます。

$4 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$4 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

ステップ 7.5

${u_{2}}^{2}$ を移動させます。

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

ステップ 7.6

${u_{2}}^{2}$ を移動させます。

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.7

$1$ に $1$ をかけます。

$4 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.11

${u_{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

ステップ 7.13

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

ステップ 7.14

$- {u_{2}}^{2}$ から ${u_{2}}^{2}$ を引きます。

$4 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

ステップ 7.15

$- 2 {u_{2}}^{2}$ と ${u_{2}}^{4}$ を並べ替えます。

$4 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7.16

$1$ を移動させます。

$4 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{2}}^{4}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ です。

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

ステップ 10

$- 2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

ステップ 11

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

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ステップ 13.1.1

$\frac{1}{3}$ と ${u_{2}}^{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

ステップ 13.1.2

$\frac{1}{5}$ と ${u_{2}}^{5}$ をまとめます。

$4 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

ステップ 13.2

簡約します。

$4 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (u_{1})$ で置き換えます。

$4 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

ステップ 14.2

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (θ)$ で置き換えます。

$4 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$4 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$

微分積分 例

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