微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x}}$

ステップ 4

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$5 \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 5.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 5.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$5 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$5 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 5.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 5.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{x}}$

ステップ 6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}}$

ステップ 7

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$5 \cdot 4 \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 7.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 7.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 7.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 7.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分母と分子を微分します。

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 7.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 7.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x}}$

ステップ 8

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

ステップ 9

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 9.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 9.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 9.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 9.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

分母と分子を微分します。

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 9.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 9.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

ステップ 10

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

ステップ 11

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 11.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 11.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 11.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 11.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 11.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

分母と分子を微分します。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 11.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 11.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 12

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{x}}$ は $0$ に近づきます。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

ステップ 13

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$5$ に $4$ をかけます。

$20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

ステップ 13.2

$20$ に $3$ をかけます。

$60 \cdot 2 \cdot 0$

ステップ 13.3

$60$ に $2$ をかけます。

$120 \cdot 0$

ステップ 13.4

$120$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例