微分積分例

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{5}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{5}{3} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.2.4

$- 4$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.2.5

$- 4$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.2.6

$\frac{- 20}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4} x^{5}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.3.3

$5$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.3.4

$\frac{5}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

ステップ 1.4

$\frac{4}{15}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{4}{15}$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{5}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x^{4}}{4}$ の微分係数は $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.3

$4$ と $\frac{5}{4}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.4

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.5

$\frac{20}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.6

$20$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$4$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.6.2.4

$5 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- \frac{20}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{20 x^{3}}{3}$ の微分係数は $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

ステップ 2.3.4

$- 3$ と $\frac{20}{3}$ をまとめます。

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

ステップ 2.3.5

$- 3$ に $20$ をかけます。

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

ステップ 2.3.6

$\frac{- 60}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

ステップ 2.3.7

$- 60$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$3$ を $- 60 x^{2}$ で因数分解します。

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

ステップ 2.3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

ステップ 2.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

ステップ 2.3.7.2.3

式を書き換えます。

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

ステップ 2.3.7.2.4

$- 20 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$

微分積分 例

微分積分例