微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.4

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.4.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.5.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.5.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.8

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.11

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{2 x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln (x)}{x}$

ステップ 2.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.5

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \ln (1)}{1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$1 + \ln (1)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (1 + \ln (1))$

ステップ 4.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

ステップ 4.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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