微分積分例

$e^{- 2 x} + 2 x$

ステップ 1

$e^{- 2 x} + 2 x$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{- 2 x} + 2 x d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{- 2 x} d x + \int 2 x d x$

ステップ 5

$u = - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 5.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 2 x d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 2 x d x$

ステップ 6.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 2 x d x$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 x d x$

ステップ 10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int x d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$- \frac{1}{2} e^{u} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 12.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 12.2.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} e^{u} + 1 x^{2} + C$

ステップ 12.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} e^{u} + x^{2} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$

微分積分 例

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